একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে তার ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ক্ষেত্রটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে তার ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ক্ষেত্রটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

জাতীয় গোয়েন্দা সংস্থা (NSI) ফিল্ড স্টাফ 2025

ক) ৫.৫ মিটার

খ) ৬.৫ মিটার

গ) ৭.৫ মিটার

ঘ) ৮.৫ মিটার 

ক) ৫.৫ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$

যেখানে $a$ হলো বাহুর দৈর্ঘ্য।

 পুরোনো ও নতুন ক্ষেত্রফল
পুরোনো ক্ষেত্রফল:

$$A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$$

নতুন ক্ষেত্রফল:

$$A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (x+1)^2$$

 ক্ষেত্রফলের পার্থক্য

$$A_2 - A_1 = 3\sqrt{3}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{4} \left[(x+1)^2 - x^2\right] = 3\sqrt{3}$$ সরলীকরণ

$$\frac{\sqrt{3}}{4} \left(x^2 + 2x + 1 - x^2\right) = 3\sqrt{3}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{4} (2x+1) = 3\sqrt{3}$$

উভয় পাশে $\sqrt{3}$

$$\frac{2x+1}{4}=3\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$$$\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}2x+1=12$$$$2x=11<br><br>\Rightarrow x=\frac{11}{2}=5.5$$

উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার।